持病があると高い保険しかないのですか？

以下、回答させていただきます。(文面から読み取れる範囲での、一般的な回答)
まず、前提として③点～十分にご承知のことかと思われますがお伝えします。
①実際の【保険見直し・ご加入検討】の際は「体況上の告知(過去～現在の健康状態)が必要」であり、「その時の状況次第では→加入不可」となることも先にふれておきます。
②当回答では、具体的【商品名】・【保険会社名】を伝えることができないことをご理解ください。
③公的な「社会保障」の内容につきましては、本章では割愛します。
『持病がある人でも入れる月に約5000円の介護医療保険に加入…』
文面から読み取れる範囲ですが⇒「緩和型タイプ」(告知の少ない保険)に、ご加入の現状と認識します。
『もう少し値段を抑えて加入できるものがあると嬉しいです…』
結論から申しますと、「一定の条件をクリア」できれば..という補足をもとに「一般型タイプ」への加入ができる可能性も、比較的高いのでは？・・と考えられます。
上記「一定の条件をクリア」という事柄を整理してみましょう..
《気管支喘息》⇒「現在まで“入院”がなく」・「2年内の“経口ステロイド”剤の投薬がなく」・「発作がなく」・「投薬なし」また「投薬があったとしても“薬名”」を告知～査定によりますが、複数社の【無条件承諾】の可能性あり
《うつ病》(ほぼ完治との年限が、文面から読み取れませんが…)
⇒「完治後、5年経過」・「完治後、3年経過/その期間内の“入院なし”」・「治療をおこなっていた時の“内容”」・「医療証明書(医師のコメント)内容」・「直近の健康診断結果の中身」など、総合的判断となりますが複数社の【無条件承諾】の可能性あり
という現状でしょうか..
各保険会社によって「さまざまな研鑽、進化を遂げながら」引受/給付要件を約束なさってる実情です。
たいせつな「ご自身の保障」・・バランスよく保有なされることを、願っております。