父が再婚したいと言い出してもめてます

ご質問の件について、質問者様、父親、親戚の気持ちを考慮しますと、とても難しい問題だと感じています。

ちなみに、質問者様の父親が親しくなった女性と再婚をして入籍をしますと、父親が死亡した際における相続権は、配偶者であるその親しくなった女性にも発生することになります。

そのため、相続することができる財産に対する問題が生じそうな懸念があるほか、質問者様からしますと、どのような人なのか全くわからないような人に、父親の財産の半分は相続できる権利が発生しますと、何といいましょうか「もやもやした気持ち」になるのではないでしょうか？

一方で、父親の人生であるため、残る余生を親しくなった女性と過ごす時間を大切にしてもらうことは決して悪くはないとも思います。

あくまでも回答者個人の主観となるのですが、質問者様を含めた相続人のことを考慮しますと、入籍をせずに事実婚として生活をしてもらい、財産をその女性のために残したいのであれば、その女性に対する「遺言書の作成」を提案してみるのはいかがでしょうか？

この方法ですと、少なくとも親戚・質問者様、父親のすべてがある程度納得できる形として収まる結果になるのではないかと推測します。

できることならば、いま一度、それぞれの意見を聞いた上で、法律の専門家にあたる弁護士などへ一通りご相談されることが、後々のトラブル防止につながるのではないかと感じています。