この先の仕事について不安です

こんにちは。ご質問ありがとうございます。
正社員に転職なされて本当によかったと思います。
今後は「老後資金」という課題が出てくるかと思いますが、少しずつでもよいので積み立てていかれることをお勧めします。
それには「iDeCo」という「個人型確定拠出年金」はいかがでしょうか。
これはご自身で金融機関を選択し口座開設を行いご自身で60歳まで運用していくという制度です。
口座開設の際と運用中に手数料はかかりますが「iDeCo」の大きなメリットは「節税できる」ということです。
掛金は全額「所得控除」になりますし、運用して出た利益にも税金はかかりません。
相談者様のお勤めの会社に企業年金等がなければ年276,000円（月23,000円）まで拠出することができます。
これが全額所得から控除できますので相談者様の年収で年276,000円拠出したとしますと、所得税で13,800円、住民税で27,600円の税金が戻ることになります。
「iDeCo」は60歳まで積み立てを続けないといけませんので、60歳まで毎年これぐらいの税金が戻ることになります。これは大きいと思います。
日々の生活に追われて貯蓄もままならないとお書きですが「iDeCo」であれば最初は少し面倒ですが、設定さえすればあとは自動的に積み立てられていきますので年に1度ぐらいチェックされるだけでも大丈夫です。元本の保証はありませんが、元本確保型の商品（定期預金など）もあります。
ただ、60歳まで現金化することはできませんので最初は無理のない範囲で積み立て額を決められるとよいかと思います。
相談文にはありませんが、ご兄弟などはいらっしゃらないのでしょうか。
もしご兄弟がいらっしゃるのであれば、相談者様おひとりが親御さんの面倒を見ないといけないということはありません。
ご兄弟がいらっしゃらないとしても「介護保険」を利用されることで乗り切れることも多いです。あまり不安になられることなくご自分の生活を楽しまれるよう願っております。