両親名義の株式、引き継ぐ際の注意点は？

上場企業の株式を保有されているという前提でご回答いたします。
まず、相続発生後のおおまかな流れは、以下のようになります。
①ご両親が取引されていた証券会社に連絡し、残高証明書の発行を依頼
②遺産分割協議書の作成（株式を引き継ぐ相続人を決める）
③証券会社に、名義変更に伴う書類を提出
④株式を引き継ぐ相続人が証券会社に口座を開設（持っていない場合）
⑤引き継いだ株式の振り替えが完了、売買が可能に。
基本的には、証券会社は相続に慣れていますので、相続発生後の手続きを具体的に教えてくれるはずです。その指示通りに手続きをすすめていけば問題ないでしょう。
ただ、株式の遺産分割方法については、いくつかの種類があります。具体的には、株式をひとり、または複数の相続人がそのまま引き継ぐのか（現物分割）、株式をすべて売却し、売却代金を相続人で分配するのか（換価分割）、ひとりの相続人が株式を相続し、代償金を他の相続人に支払うのか（代償分割）、ということです。
また、遺産は株式だけとは限りません。ご質問の「株式を引き継ぐにあたって最も負担が少なく、かつ手続きが楽な方法」に対するひとまずのご回答といたしましては、現物分割を行い、ひとりの相続人が株式をそのまま引き継ぐという方法が適しているのかもしれませんが、他の遺産も含めて不公平にならないよう配慮する必要はあるでしょう。
さらに、遺産には亡くなられた方の何らかの強い想いが込められている場合も多いはずです。
株式に関しても、それを発行する企業に対し、ご両親が何か強い想い入れを抱かれているかもしれません。投資というのは、財産づくりとより良い社会づくりの両方を目指すことですから。株式を単なる金融資産とみなすだけではなく、そのような想いを今のうちに共有しておくことが、特に気持ちの面において、後々負担の少ないスムーズな相続につながるのではないでしょうか。