貯蓄がないため、転職したくてもできない。

ご質問ありがとうございます。雇用保険で賄うということは、退職して失業給付（失業手当）を受給するということですね。まず、自己都合退職でも失業給付は受けられます。
ただし、失業給付を受けるには要件があります。それは、離職の日以前2年間に、雇用保険に加入していた期間が2か月以上あることです。要件を満たす場合でも、実際に受給するまでには期間があります。ハローワークに出向いて受給資格決定日が決まってから7日間の待期期間があります。その後、自己都合退職の場合は3ヶ月間の給付制限があります。つまり、1週間＋3ヶ月が経たないと、失業給付が受けられないのです。そのあいだに転職先に就職できればいいのですが、入社日を待つことになると、その間の収入が0円になってしまいます。なので、貯蓄がまったくないとなると、生活が行き詰まってしまう心配があります。

大手企業へは確実に入社できそうですか？まずはそこを確認されて、いつまでに入社するのがいいのが相談してみてはいかがでしょうか。それで、もしすぐに入社できない場合は、せめて3ヶ月間の給付制限の間の生活費や入社までの生活費は、今のうちから確保しておいたほうがよいでしょう。また、今後はお子さんにもお金がかかる時がやってくるのですから、貯金がまったくできないのは問題です。なぜ貯金ができないのか、何か削れる支出はないか、家計を見直されることをおすすめします。