退職について

ご質問の件について、質問者様は、ルール（法律）に則った対応をしていると考えられる一方で、民法という法律において若干の問題が生じていると思われます。

参考：民法第628条

今回の労働契約は、契約期間が3ヶ月ということで、この期間について使用者（勤務先）は、「やむを得ない事由がある場合でなければ」労働者（質問者様）を解雇することができないとされています。

重要なのは、この後になるのですが、今回のように労働契約の途中で退職をするためには、労働者（質問者様）も「やむを得ない事由」がなければなりません。

ここで言う「やむを得ない事由」とは、本人のケガや病気、家族の看病などで労務を提供することができなくなったときなどがあてはまります。

そのため、上記の事由にあてはまらない状態で勝手に辞めた場合は、使用者（勤務先）に対して損害賠償の義務が発生するため注意が必要です。

なお、質問者様の今回の質問に対するものと極めて酷似した内容のＱ＆Ａが福井県のＷＥＢサイトにありましたので、そちらを一通り読み進めていただきますと問題が解決すると思います。

参考：福井県　職場のトラブルＱ＆Ａ　～契約期間満了前の退職申し出～
https://www.pref.fukui.lg.jp/doc/roudouiinkaijimukyoku/qa/qa36.html

ちなみに、「有給を使って休むことは可能ですか？」とありますが、こちらは可能です。

労働基準法において、有給休暇の消化について使用者（勤務先）は、拒むことはできないとされており、最悪、拒まれた場合は、労働基準監督署へ相談すると事前に申し上げるか、実際に相談されるのが望ましいと思われます。

なお、勤務先は有給休暇の申請時期を変更する権利は認められているものの、質問全体を見て総合的に考えますと、有給休暇の使用は、法律上、問題なく認められるでしょう。