子供にかかる費用について

ご質問ありがとうございます。また、ご妊娠おめでとうございます。これからお子様が誕生するにあたり、喜びも大きい分、不安あるかと存じます。今後の見通しが立つように回答させていただきます。
順序立てて回答するために、こちらでご質問を整理させていただきましたので、順に返答いたします。
質問1　学費の総額と時期
今後の生活費についてですが、やはり大きく変わるのはお子様への費用が発生する点です。そこで学費に焦点をあてて紹介します。
その時々にかかる学費について文部科学省「平成30年度子供の学習費調査の結果について」より抜粋して紹介します。
公立幼稚園 22万3647円
私立幼稚園 52万7916円
公立小学校 32万1281円
私立小学校 159万8691円

公立中学校　48万8397円
私立中学校　140万6433円

公立高等学校(全日制)　45万7380円
私立中学校　96万9911円
※塾費用や通学費用なども含めた年間の平均額です
※後述する幼児教育・高等教育無償化は反映されておりません
私立大学の学費は学部により差がありますが、「私立大学等の平成30年度入学者に係る学生納付金等調査結果について」によると初年度の学費は約133.6万円です。そのため4年間の合計額は450万円程度と考えるといいでしょう。
ご覧の通り、公立と私立で大きな差が出ます。また私立の場合は通常、入学前に入学金が必要になりますので、一定額は常に手元にあるようにしておきたいです。
質問2　子供にかかるお金を減らすための方法
お子様が小さいうちにどれだけ支出をコントロールできるかがカギです。お子様が小さいうちはお宮参りや七五三などイベントが多いです。家族で楽しむ大事なイベントですが、可愛い時期ですのでついお金をかけてしまいがちですので、毎回予算を立てて行うようにします。
学費についても、お子様が大きくなると、お子様自身の意思で通塾や進学先、部活動などを決定するようになるでしょう。お子様が小さいうちは積み立てができるよう支出を抑え、将来に備えます。学費が多くなるのは中学生進学以降ですので、小学校のうちに準備しておきたいです。
質問3　児童手当（子ども手当）は貯めておくべきか
児童手当は、可能な限り貯めていきたいです。児童手当は全額貯めていくと、総額で大学初年度の学費程度（約133.6万円）になります。大学進学時は入学前、もしくは入学時に大きな金額を納めなければなりませんので、その金額が事前にあるかないかでは、余裕が全く違ってくるでしょう。
質問4　公的な教育支援制度
公的な教育支援制度は複数あります。また、学校や地方自治体で行っているものもありますので、ここでは国が行っている教育支援制度を2つ紹介します。
１　幼児教育無償化
3～5歳児クラスの幼稚園、保育所等の利用料が無償になるものです。ただし、金額に上限があります。保育所や認定こども園等は原則保育料が無償ですが、幼稚園であれば月額25,700円まで、認可外保育施設は月額37,000円が上限です。また無償化される場合も、「還付形式」での無償化される場合は、一度保育料を支出する必要があります。
3～5歳児の無償化については、所得制限はありません。

2　高等教育無償化
こちらは「大学・短大・高等専門学校（４・５年生）・専門学校」等に対する支援です。支援内容は主に次の2点です。
・授業料・入学金の免除、もしくは減額
・給付型奨学金
どちらの支援も上限がありますので、高等教育の費用がすべて賄えるわけではないでしょう。しかし、大きな助けになるはずです。とはいえ、支援を受けるためには所得制限があります。住民税非課税世帯は上限まで支援が受けられますが、所得が上がると段階的に支援額が小さくなります。
家族構成によって異なりますが、支援が受けられる目安の年収は概ね380万円と、受給基準は厳しいです。世帯収入が低い家の子どもを支援するための制度といえるでしょう。

また、子供を一人育てるのは共働きでないと厳しいのかどうか、ご質問いただいております。共働きでなくとも子供を育てているご家庭はたくさんありますが、世帯ごとに収支は異なるので一概には判断しにくいです。
質問者様が働くかどうか迷っているのであれば、上記の教育費を参考にしてご自身の家計がどうなるのかイメージしてみてください。そのうえで、共働きが必要かどうか判断されるといいでしょう。

長文になり失礼いたしました。
末筆ながら、元気なお子様が誕生することを祈念しております。