５０代。納得のいく仕事をじっくりと探すべきでしょうか。

ご質問ありがとうございます。
埼玉県のブレイン・トータル・プランナーの舘野です。
現在のご年齢が53歳ですから、65歳迄の年金受給まで13年となります。所得も定額ではなさそうですから、それなりに貯蓄もおありのようですね。失業手当は勤務年数から判断すれば所定給付日数は150日間ですから、最低でも月額20万円は支給されると思われます（支給上限月額は249,900円）
従いまして、当面様子を見られながら再雇用先を探されることも必要まもしれません。なぜなら、ウィズコロナによって、経済と産業には予断を許さない環境であり、いつ雇止めになるかも知れない企業が多数あります。企業側としては人件費のカットにつきまして段階的に実施してゆきますが、まず派遣社員さんから削ることとなります。本来、高スキルをお持ちですから、依頼業務の期間毎に業務を進められ、次の企業へと仕事が変わられてゆくと思いますが、企業側としても設備投資には消極的であり、その傾向が好転するには多少の期間はかかると思われます。このような時は、焦らず状況を見ながら回復を待つことも良いかもしれません。
続いて、失業給付金の残日数に関する件ですが、特に気にする必要はないでしょう。
確かに再就職手当を受給されるのであれば早期に再就職すれば再就職手当をより手厚く支給されます。再就職手当を受給するには所定給付日数の3分の1以上の受給日数を残して就職した場合にもらえますので、御相談者様は受給日数の100日以内に就職する必要があります。もし、100日以内に良い派遣先が見つかれば再就職なされれば良いでしょう（派遣社員さんの場合は、派遣会社から1年間の継続性を証明させる事が必要です）。