ご近所の不始末が原因でケガ。相手に角を立てずに手術費を受けとる方法はなかった？

こんにちは。ご質問、ありがとうございます。
私たちファイナンシャルプランナーは、弁護士資格を持っていない限りは、法律に関する個別具体的な判断を行うことができません。そのため、ここでお伝えすることは、参考程度にお考えください。
※弁護士法に抵触する恐れがあるためです。

結論から申し上げると「相手に伝えないとどうしようもない」というのが答えです。
いただいた質問からは、大工さんが一人で切り盛りしている人（いわゆる「一人親方」）なのか、どこかの工務店の社員・役員なのかはわかりませんが、いずれにしても工事中のトラブルに備えて、賠償責任保険に加入しているはずです。
釘が刺さってケガをしたということであれば、大工さんに賠償責任保険を使うよう伝えて、治療費の一部を給付金として出してもらうべきでしょう。

※この場合、大工さんの持ち出しはありません。

ご家族が自ら伝えるのはどうも、という場合は、弁護士に相談して、代わりに交渉してもらうようにしましょう。
「ことを荒立てたいわけではないが、金銭的な負担が大きくて大変だから伝えさせてもらう」という希望を伝えれば、上手な伝え方を考えてくれるはずです。

ご参考になれば幸いです。